Terminale · Électricité · Circuit RC

Charge & Décharge
d'un Condensateur

Simulation interactive — Circuit RC série

Tension U_C

0.00

Volts

Intensité i

0.00

Constante τ

1.00

secondes

Temps t

0.00

secondes

Schéma du circuit

Paramètres

Résistance R 1.0 kΩ

Capacité C 1000 µF

Tension E 5.0 V

Évolution de la tension U_C(t) — survoler pour lire les valeurs

τ = RC = — | 5τ ≈ régime permanent

Équations fondamentales

⚡ CHARGE (interrupteur fermé)

Équation différentielle :
RC · dU_C/dt + U_C = E

Solution :
U_C(t) = E · (1 − e^−t/τ)
i(t) = E/R · e^−t/τ

τ = R · C

🔋 DÉCHARGE (générateur retiré)

Équation différentielle :
RC · dU_C/dt + U_C = 0

Solution :
U_C(t) = U₀ · e^−t/τ
i(t) = −U₀/R · e^−t/τ

τ = R · C

Établissement de l'équation différentielle

Loi des mailles (K fermé)

On parcourt la maille dans le sens du courant :
E − u_R − u_C = 0
↳ somme algébrique des tensions = 0

Lois des composants

Résistance : u_R = R · i
Condensateur : i = C · du_C/dt
↳ le courant charge les armatures

Substitution dans la loi des mailles

E − R · i − u_C = 0
E − R · C · du_C/dt − u_C = 0
↳ on remplace i par C·du_C/dt

Réarrangement

RC · du_C/dt + u_C = E
↳ on multiplie par −1 et on réorganise
↳ équation différentielle du 1^er ordre

Équation différentielle de la charge :
RC · du_C/dt + u_C = E
avec τ = RC → τ · du_C/dt + u_C = E

Points clés à retenir

            ① Constante de temps τ
          

👆 Survolez la courbe pour lire τ

● τ (63%/37%) --- tangente

② Vérification — lis τ sur le graphe

            ② Les deux régimes
          

📋 Contexte : circuit RC en charge (K fermé, condensateur initialement déchargé).
E = tension du générateur | τ = RC | i₀ = E/R (intensité initiale)

Q1 Pendant le régime transitoire, comment évolue U_C(t) ?

Q2 En régime permanent (t ≫ 5τ), quelle est la valeur de U_C ?

Q3 Pendant le régime transitoire, quelle est l'expression de l'intensité i(t) ?

Q4 En régime permanent, comment se comporte le condensateur dans le circuit ?

Q5 À partir de quel instant considère-t-on que le régime permanent est atteint ?

            🔲 Condensateur plan — C = ε₀·εᵣ·S / d
          

C = —

Surface S 25 cm²

Écartement d 1.0 mm

Permittivité εᵣ 1.0 (air)

            📡 Capteur capacitif
          

🔋 Décharge Régimes transitoire & permanent — Décharge BO : établir et résoudre l'équation différentielle de la décharge

📋 Contexte : condensateur initialement chargé à U₀. Le générateur est retiré (ou l'interrupteur ouvert) à t = 0.
U₀ = tension initiale | τ = RC | i₀ = −U₀/R (courant initial négatif)

Q1 Quelle est l'équation différentielle vérifiée par u_C(t) lors de la décharge ?

Q2 Quelle est la solution de cette équation différentielle (u_C(0) = U₀) ?

Q3 En régime permanent après décharge complète, que vaut u_C ?

Q4 Quelle est la valeur de u_C à t = τ lors de la décharge ?

📐 Méthode Déterminer τ graphiquement — méthode de la tangente BO : déterminer le temps caractéristique à l'aide d'une carte d'acquisition ou d'un oscilloscope

👆 Survolez le graphe — la tangente à l'origine et le point à 63 % sont tracés automatiquement

─── U_C(t) = E(1−e^−t/τ) - - - tangente à l'origine ● point τ (63 %)

Q1 La tangente à l'origine de U_C(t) coupe l'asymptote U_C = E en…

Q2 À t = τ, U_C a atteint environ quelle fraction de E ?

Q3 Quelle est la pente de la tangente à l'origine ?

∂ Math Vérification de la solution — substitution dans l'équation différentielle BO — capacité mathématique : résoudre une équation différentielle du 1^er ordre

On veut montrer que u_C(t) = E(1 − e^−t/τ) est bien solution de τ · du_C/dt + u_C = E. Répondez aux étapes dans l'ordre.

①

Calculer du_C/dt

②

Calculer τ · du_C/dt

③

Substituer dans τ · du_C/dt + u_C — que trouve-t-on ?

⚡ Énergie Énergie stockée dans un condensateur — E = ½ · C · U² Prolongement fréquent dans les sujets de bac

CALCULATEUR INTERACTIF

Capacité C = 1000 µF

Tension U = 5,0 V

              E = ½ · C · U²
            

12,5 mJ

Énergie relative (max = 360 mJ)

Q1 Quelle est l'unité de la capacité C dans la formule E = ½CU² pour obtenir E en joules ?

Q2 Si on double la tension U aux bornes du condensateur, l'énergie stockée est…

Q3 En fin de charge (u_C = E), quelle est l'énergie fournie par le générateur, sachant que l'énergie stockée est ½CE² ?